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Anpassen
einer Sinus-Funktion an eine gemessene
Schwingung
3. Anpassen der Periode
Mit Periode bezeichnet man den Bereich der
Eingangsvariablen (z.B. x) einer Funktion, nachdem
sich die Funktion exakt wiederholt. Bei der original
Sinus-Funktion ist die Periode gleich 2π.
Durchläuft die Eingangsvariable die Werte von 0 bis 2π,
so ergibt sich exakt eine Schwingung.
Die Aufgabe ist nun, die Sinusfunktion so anzupassen, dass
ihre Periode einer vorgegebenen Periode entspricht. Sie muss
also der Vorgabe entsprechend gestreckt oder gestaucht
werden, so dass die Funktion an der 'richtigen' Stelle ihre
Periode vollendet hat.
Die Periode bezieht sich ja auf die Eingangsvariable, also
muss diese entsprechend verändert werden. Vorhin hast
du gesehen, dass man das Strecken bzw. Stauchen durch eine
Multiplikation mit einer festen Zahl erreicht. Also
müsste sich das gewünschte ergeben, wenn man nun
x direkt mit einer Zahl multipliziert, also
b•x statt x nimmt. Hier kannst du dies
wieder ausprobieren:
Es stimmt - je nachdem,
welchen Faktor Du eingibst, wird die gesamte Sinusfunktion
entlang der Rechtsachse gestreckt oder gestaucht. Aber! Hast
du es bemerkt? Hier ist es genau umgekehrt, wie bei der
Multiplikation der gesamten Funktion mit einem
Faktor. Wenn hier der Faktor kleiner als eins ist, so wird
gestreckt und wenn er größer als eins ist
gestaucht! (Die Begründung kannst du der
Überlegung unten entnehmen.) Man kann dies wieder
für alle Funktionen verallgemeinern:
Die Multiplikation der
Variablen einer Funktion mit einem
Faktor
entspricht einer Streckung bzw.
Stauchung des Graphen entlang der
Rechtswertachse um diesen
Faktor.
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Es stellt sich jetzt die
Frage: Wie groß muss nun der Faktor b sein, um
eine gewünschte Periode p zu erhalten?
Dazu folgende Überlegung:
Die Original-Sinus-Funktion hat ja die Periode 2π.
Multipliziert man die Variable x mit 2π, so
müsste die Periode statt bei 2π, nun schon
bei eins vollendet sein, da ja nun bereits für x
= 1 das Argument der Sinus-Funktion 2π beträgt.
Probiere dies oben gleich einmal aus (π kannst du mit
der Tastenkombination 'p eingeben).
Na ja, jetzt ist es nur noch ein Katzensprung... Damit die
Funktion erst bei dem gewünschten Wert p ihre
Periode vollendet hat, muss man nun zusätzlich noch
durch p teilen. Der gesamte Faktor ergibt sich somit
zu (2π) / p.
Auch dieses Ergebnis können wir wieder verallgemeinern.
Diesmal auf alle periodischen Funktionen. Da ja 2π die
Periode der Ursprungsfunktion war, können wir allgemein
sagen:
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ursprüngliche
Periode
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Faktor
=
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-------------------------------
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gewünschte
Periode
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Hier ein kleiner
Test:
Ändere oben die
Parameter so, dass die Funktion Werte zwischen -2,5 und
2,5 annimt und eine Periode von 6 hat. An welchen Stellen
schneidet die Funktion die x-Achse?. Welche Werte
müssen die Parameter besitzen, wenn die Funktion
einen Wertebereich von 8 umfassen soll und durch den
Punkt (0/5) gehen soll?
Lösung (kommt
noch)
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